101-7. Квадрат язгуур

Квадрат язгуур (Square Roots)

а-г өөрийг нь өөрөөр нь үржих юм бол үүнийг тэрний квадрат гээд а² гэж тэмдэглэнэ. Харин үүнийг эсрэгээр нь а²-аас квадрат язгуур (square root) гаргахад а гарна гэнэ.

 

Жишээ нь 4-өөс квадрат язгуур (square root) гаргавал 2, харин 9-өөс квадрат язгуур (square root) гаргавал 3 байна. Үүнтэй адил 0-ийн квадрат язгуур (square root) 0, 1-ийн квадрат язгуур (square root) 1 байна.

1-ийн квадрат 1, 2-ийн квадрат 4, тиймээс 1-ээс квадрат язгуур (square root) гаргах юм бол 1, харин 4-өөс квадрат язгуур (square root) гаргах юм бол 2 гарна.

Хэрэв 1-ээс квадрат язгуур (square root) гаргавал 1, 4-өөс квадрат язгуур (square root) гаргавал 2 юм бол энэ 2-ын дунд орших 2 ба 3-аас квадрат язгуур (square root) гаргах юм бол хэд байх вэ? 2 ба 3-аас квадрат язгуур (square root) гаргавал бүхэл тоо гаргахгүй бөгөөд 1-ээс 2-ын хооронд утга гаргана.

Тэгвэл 2-оос квадрат язгуур (square root)-ыг хэрхэн ойролцоогоор гаргах аргыг үзье. 

• Эхлээд 1-ээс 2-ын хоорондох дунджийг олно. Энэ нь 1.5 юм. 
• 1.5--ийн квадрат 2.25 буюу энэ нь 2-оос их тул 1.4-ийн квадратыг олъё. 
• 1.4-ийн квадрат нь 1.96 тул 2--ийн квадрат язгуур (square root) нь 1.4-өөс 1.5-ийн хооронд байна.

Үүнийг цааш нь нарийвчилж 2-ийн квадрат язгуур (square root) аль завсарт байгааг илүү нарийвчлалтайгаар гаргаж болно.

Квадрат язгуурын шинж чанарууд (Properties of Square Roots)

1. Нэмэх тооны квадрат язгуур (square root) нь нэмэх ба хасах 2 утгатай байна. Жишээ нь 4-ийн квадрат язгуур (square root) нь +2 ба -2 байна. 9-ийн квадрат язгуур (square root) нь мөн +3 ба -3 байна.

2. Хасах тооноос квадрат язгуур (square root) гаргах юм бол бодит тоо гарахгүй. Хасах тооноос квадрат язгуур (square root) гаргахад хуурмаг тоо гардаг.

3. Тэгээс их ямар ч тоог квадрат зэрэгт дэвшүүлэх буюу өөрийг нь өөрөөр нь үржихэд нэмэх тоо гардаг. Тиймээс хасах тооноос квадрат язгуур (square root) гаргах юм бол тэр нь бодит тоо гарахгүй. Жишээ нь -4-өөс квадрат язгуур (square root) гаргах юм бол бодит тоо гарахгүй. Тиймээс уг тоог тоон шугам дээр дүрсэлж болохгүй.

4. а ба b нь бодит тоо бол тэдний үржвэрээс квадрат язгуур гаргах нь тус бүрээс нь квадрат язгуур гаргаад хооронд нь үржих 2 адилхан. Энэ нь хуваах үйлдлийн хувьд ч адил биелэнэ.

 

Куб язгуур (cube root)

Хэрэв а тоог өөрийг нь 3 удаа үржүүлэх юм бол энэ удаад үүнийг а тооны куб гэнэ. Эндээс куб язгуур (cube root) гаргах юм бол а тоо өөрөө гарна. Жишээ нь 8-аас куб язгуур (cube root) гаргах юм бол 2 гарна.

101-6. Иррационал тоо

Иррационал тоо (Irrational Numbers)

Зарим 10-тын тоонууд нь заавал давталттай (recurring or repeating) байдаггүй. Мөн заавал төгсгөлөг (terminating) ч биш байдаг.

 

Өөрөөр төгсгөлөг (terminating) биш мөртлөө тодорхой давталттай (recurring or repeating) биш эмх замбараагүй байна.

 

Ийм тоонуудыг иррационал тоо (irrational numbers) гэнэ.

Жишээ нь:

 

1.2354...

                    3.1415...

                    1.414...

                    1.732... 

101-5. Рационал тоог 10-тын тоогоор илэрхийлэх

Рационал тоог 10-тын тоогоор илэрхийлэх (Decimal Representation of Rational Numbers)

Рационал тоог 10-тын тоогоор илэрхийлэхэд нэг бол төгсгөлөг (terminating decimal), эсвэл давталттай (repeating decimal) 10-тын тоогоор илэрхийлэгддэг.

Тодорхой хязгаартай тоогоор төгсөж байвал төгсгөлөг 10-тын тоогоор (terminating decimal) илэрхийлэгдэж байна гэнэ. Жишээ нь 0.5, 0.25, 0.4 гэх мэт.

Харин нэг эсвэл хэд хэдэн тоо давтагдаж хязгааргүй үргэлжилж байвал давталттай 10-тын тоогоор (repeating decimal) илэрхийлэгдэж байна гэнэ. Жишээ нь 0.3333 ... гээд 3 нь тасралтгүй давтагдаж байх. Мөн 0.4545 ... гээд 45 гэсэн тоо тасралтгүй давтагдаж байх. 

10-тын тоог бутархай тоо уруу хөвүүлэх (Conversion of a Decimal Number into a Fraction)

Давталттай 10-тын тоог (repeating decimal) бутархай тоо уруу хөврүүлэхдээ дараах томьёог ашиглана.

101-4. Рационал тоо

Рационал тоо (Rational Numbers)

Хэрэв өрөөний температур 0-ээс доош  бол энэ нь гэсэн утгатай. Гэвч энэ нь бүхэл тоо ч биш, бутархай тоо биш. Харин үүнийг рационал тоо гэж нэрлэдэг.

Рационал тооны өөр жишээг үзвэл:

 

Эндээс үзвэл:

1. Бүх бүхэл тоонууд рационал тоо байна.
2. Бүх бутархай тоонууд ч мөн рационал тоо байна.
3. 10-тын тоог 10-тын бутархай хэлбэрээр бичсэн бол мөн рационал тоо байна.

Жишээ нь 0.3, 0.7, 0.25, 0.125 гэсэн 10-тын тоонуудыг 10-тын бутархай хэлбэрт бичвэл тэд рационал тоо болно.

 

Эквивалент рационал тоо (Equivalent Rational Numbers)

Жишээ ньгэсэн рационал тоог  гэж бичиж болно.

 

Иймээс 2/3, 4/6, 6/9, 8/12 гэсэн рационал тоонуудыг хоорондоо эквивалент рационал тоонууд гэнэ.

 

Рационал тооны стандарт хэлбэр (Standard form of a Rational Number)

1. Рационал тоо нь хамгийн энгийн хэлбэртэй байна. Жишээ нь 3/4 гэсэн рационал тоог 15/20 гэж бичихгүй. Үүнтэй адил 1/3 нь хэдийгээр 20/60-тай эквивалент боловч түүнийг 20/60 гэж бичихгүй, харин 1/3 гэж хамгийн энгийн хэлбэрээр бичнэ.

 

 

 2. Рационал тооны хуваарийг хасах утгатай бичихгүй. Харин хүртвэрийг хасах гэж бичнэ.

 

 

3. Мөн рационал тооны хүртвэр болон хуваарийг хоёуланг нь хасах утгатай бичихгүй. Учир нь хуваарь ба хүртвэр нь зэрэг хасах утгатай бол уг рационал тоог нэмэх гэж үзнэ.

 

Рационал тоог тоон шугам дээр дүрслэх (Representation of a Rational Number on the Number Line)

Жишээ нь 3/2 нь 3 хүртэлх утгын хагас юм. Харин -3/2 нь 0-ээс зүүн тийш, 3/2 нь 0-ээс баруун тийш гэсэн утгатай

 

Рационал тоонуудыг харьцуулах (Comparison of Rational Numbers)

1. Нэмэх рационал тоо хасах рационал тооноос үргэлж их байна. Жишээ нь 1/2 > -3/2; 3/4 > -50/4
2. Тэг нь ямар ч нэмэх рационал тооноос бага, хасах рационал тооноос их байна. Жишээ нь -3/4 < 0 < 3/4; -10 < 0 < 1/2
3. Харин нэмэх рационал тоонуудыг харьцуулах нь бутархай тоог харьцуулахтай адилхан.
4. Харин хасах рационал тоонуудыг харьцуулахдаа нэмэх утгуудыг нь харьцуулаад эсрэгээр нь авна. Жишээ нь -3/4 ба -1/2-ийг харьцуулах бол эхлээд 3/4 ба 1/2-ийг бутархай тоог хэрхэн харьцуулдаг аргаар харьцуулна. Ингэхэд 3/4 > 1/2 байна. Хасах тооны хувьд энэ нь эсрэгээрээ байх буюу -3/4 < -1/2 байна.

2 рационал тооны хооронд рационал тоо нэмэх (Inserting Rational Numbers Between Two Given Rational Numbers)

10 ба 15 гэсэн 2 бүхэл тооны хооронд 11, 12, 13, 14 гэсэн 4 бүхэл тоо байна. -9 ба -5 гэсэн бүхэл тооны хооронд -8, -7, -6 гэсэн 3 тоо байна.

Харин  2 рационал тооны хооронд байж болох рационал тоо нь хязгааргүй олон байна.

1/2 ба 1/5 гэсэн 2 рационал тоог авч үзье. Тэгвэл 1/2-ийг 5/10, харин 1/5-ийг 2/10 гэж эквивалент утгаар сольж ижил хуваарьтай болгож болно. 

 

Тэгвэл 2/10 ба 5/10 гэсэн 2 рационал тооны хооронд 3/10, 4/10 гэсэн 2 рационал тоо байна.

 

3/10 ба 4/10-ийг ижилхэн 100 гэсэн хуваарьтай болгох юм бол 30/100 ба 40/100 гэсэн эквивалент утгатай байна. 

 

Тэгвэл 30/100 ба 40/100 рационал тооны хооронд 31/100, 32/100, 33/100 ... 38/100, 39/100 рационал тоонуудыг нэмж болно. Ийм аргаар хэчнээн ч рационал тоонуудыг нэмж оруулж болно.

Рационал тоонуудыг нэмэх (Addition of Rational Numbers)

Ижил хуваарьтай рационал тоонуудыг хооронд нь шууд нэмнэ.

 

Харин ижил бус хуваарьтай бол тэднийг эхлээд ижил хуваарьтай болгоно.

 

3/4-ийн хуваарь нь 4 бол -5/8-ийн хуваарь 8 байна. Иймээс 4 ба 8-ийн ХБЕХ буюу LCM нь 8 байна. Ингээд 3/4-г 8 хуваарьтай болговол хуваарь хүртвэрийг 2-уланг нь 2-оор үржиж 3/4 = 6/8 болно.

 

Үүнтэй адил 5/12 дээр -7/18-ийг нэмэх юм бол 12 ба 18-ийн ХБЕХ буюу LCM нь 36 байх тул 2-уланг нь 36 хуваарьтай болгоод хооронд нь нэмнэ.

 

Рационал тоонуудын хувьд хасах үйлдэл нь нэмэх үйлдэлтэйгээ адилхан хийгдэнэ. Жишээ нь:

Рационал тоонуудыг үржих (Multiplication of Rational Numbers)

1. Хүртвэрүүдийг үржүүлж үржвэрийг нь хүртвэрт тавина.
2. Хуваариудыг үржүүлж үржвэрийг нь хуваарьт тавина.
3. Рационал тоог энгийн хэлбэрт шилжүүлнэ.

Рационал тоонуудыг хуваах (Division of Rational Numbers)

101-3. 10-тын тоо

10-тын тоо (Decimal Numbers)

1/2 бутархайг авч үзье. Уг бутархайн хүртвэр нь 1 хуваарь нь 2 байна. Хуваарийг хэрэв 5-аар үржих юм бол 2 × 5 = 10 болно. Иймээс хүртвэр ба хуваарийг хоёуланг нь 5-аар үржих юм бол 1/2 нь 5/10-тай тэнцэнэ. 5/10-ийг 10-тын тоо хэлбэрт бичих юм бол 0.5 гэж бичнэ.

Үүнтэй адил 1/4-ийн хуваарь 4 байна. Үүнийг 10 болгож болохгүй ч 25-аар үржих юм бол 100 болно. Иймээс 1/4 бутархайн хүртвэр хуваарийг 25-аар зэрэг үржих юм бол 25/100 болно. Үүнийг 10-тын тоо хэлбэрт бичвэл 0.25 байна.

Үүнтэй адил 3/100-ийг 10-тын тоо хэлбэрт бичвэл 0.03, харин 35/10-ийг 10-тын тоо хэлбэрт бичвэл 3.5 гэж бичнэ.

0.5, 0.25, 0.03, 3.5-уудыг 10-тын тоо гэнэ. Өөрөөр хэлбэл бутархайн хуваарь 10, 100, 1000 гэх мэт 10-ийн зэрэгт байвюал үүнийг 10-тын бутархай гэнэ. 10-тын бутархайг цэгээр тусгаарлаж бичсэнийг 10-тын тоо гэнэ.

Жишээ нь 254.36-г 10-тын тоололд задалж бичвэл: 

Үүний 2 нь 100-тын орон, 5 нь 10-тын орон, 4 нь нэгжийн орон, 3 нь 1/10-ийн орон, 6 нь 1/100-ийн орон байна.

 Үүнтэй адил 48.352-ийг 10-тын тоололд задалж бичвэл:

 

10-тын тоог харьцуулах (Comparison of decimal numbers)

12.34 ба 12.41-ийг хооронд нь харьцуулах. 10-тын тоог хооронд нь харьцуулахдаа зүүн талын оронгоос нь эхэлж харьцуулж эхэлнэ. Зүүн талын эхний 2 орон болох 12 нь 2 тоонд ижилхэн байна. Харин 3 дахь орон нь ялгаатай бөгөөд эдгээрийн аль их нь их тоо байна.

Ингэвэл 12.4 нь 12.3-аас их байна.

Үүнтэй адил 32.45 ба 32.54-ийг болон 24.01 ба 24.10-үүдийг хооронд нь харьцуулна. 

 

10-тын тоонуудыг нэмэх (Addition of decimals)

 

10-тын тоог нэмэх нь ердийн нэмэх үйлдэлтэй адилхан. Жишээ нь 25.36 дээр 34.52-ийг нэмье.

Өөр нэг жишээг үзье. 123.56 дээр 38.23--ийг нэмье.

10-тын тоонуудын хувьд хасах үйлдэл нь ч ялгаагүй ердийн хасах үйлдэлтэй адилхан. Жишээ нь 123.41-ээс 35.006-г хасъя.

10-тын тоонуудыг үржих (Multiplication of Decimal Numbers)

10-тын тоог үржих нь ердийн үржих үйлдэлтэй адилхан. Эхлээд энгийн жишээ үзье. 0.2-ийг 0.3-аар үржье. 0.2 нь бутархай хэлбэрээр 2/10 бол 0.3 нь бутархай тоогоор 3/10-тай тэнцүү юм. Тиймээс эдгээрийг ердийн бутархай тоог үржихтэй адилаар үржинэ. Эсвэл 0.2-ийг зүгээр л 0.3-аар үржинэ. 

0.2-ийг 0.4-өөр үржих жишээг тайлбарлая. 0.2 нь 2/10 гэсэн бутархайг хэлнэ. Энэ 10 хэсэг хуваагаад 2-ийг авахтай адил бөгөөд үүнийг босоо дөрвөлжингүүдээр дүрсэлнэ.

Харин 0.4 нь 4/10 буюу 10 хуваагаад 4-ийг авахтай адил болно. Үүнийг хэвтээ дөрвөлжингүүдээр дүрсэлнэ.

Ингэвэл үржих үйлдэл нь хэвтээ дөрвөлжинг босоо дөрвөлжингийн хэмжээгээр давтах ба босоо дөрвөлжингийн будаатай хэсэг нь адилд автагдаж бусад нь хоосноор давтагдана. Ингэхэд 100 дөрвөлжин үүсэх ба эдгээрийн 8 нь будагдсан байх тул энэ нь 8/100 буюу 10-тын хэлбэрээр 0.08 байна.

Үүнтэй адил 10-тын тоонуудыг хооронд нь үржих дараах жишээнүүдийг харъя.

10-тын тоонуудыг хуваах (Division of Decimal Numbers)

10-тын тоонуудыг хэрхэн хуваах талаар хэд хэдэн энгийн хялбар жишээг авч үзье.

10-тын тоог энгийн натурал тоонд хуваах жишээг авч үзье.

Одоо 10-тын тоог 10-ын зэрэгтүүд болох 10, 100, 1000 гэх мэт тоонд хуваахыг үзье.

Дээрх жишээнээс 10-т хуваавал таслалын байрлал зүүн тийшээ 1 байраар, 100-д хуваавал 2 байраар гэх мэтээр шилжиж буйг ажиглаж болно.