1, 2, 3, 4, ... гэх мэтээр бүх тоологддог тоог натурал тоо (Natural Numbers)
Бүхэл тоо (Whole Numbers & Integers)
Бүхэл тоо нь Whole Numbers ба Integers 2 янз байна.
Whole Numbers бүхэл тоо нь натурал тоо ба тэгийг хамтад нь хэлнэ.
0, 1, 2, 3, 4, ... Whole Numbers
Integers бүхэл тоо нь ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... гээд тоологддог бүх тоог нэмэх болон хасах утгатай хамтад нь хэлнэ.
ХИЕХ ба ХБЕХ (HCF & LCF)
Хоёр тооны хамгийн их ерөнхий хуваагч (highest comman factor - HCF) аль алиных нь хуваагч байж чаддаг хамгийн их хуваагчийг хэлнэ. Жишээ нь 12 ба 18-ийн хамгийн их ерөнхий хуваагч нь 6.
Харин хамгийн бага ерөнхий хуваагдагч (least common factor - LCF) аль алиных нь хуваагдагч болж чаддаг хамгийн бага хуваагдагчийг хэлнэ. Жишээ нь 12 ба 18-ийн хамгийн бага ерөнхий хуваагдагч нь 36.
Бүхэл тоог тоон шугам дээр дүрслэх (Representation of Integers on the Number Line)
- Тоон шугам дээр бүхэл тоонууд зүүн талаасаа баруун уруу өсөх дарааллаар байрлана. Жишээ нь -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 гэх мэт
- Хэрэв бүхэл тоон дээр нэмэх бүхэл тоог нэмэх юм бол тоон шугам дээр баруун тийш шилжинэ. Жишээ нь 1 + 1 = 2 нь 1 баруун тийш 1-ээр шилжинэ. 1 + 3 = 4 нь 1 баруун тийш 3-аар шилжинэ.
- Хэрэв бүхэл тоон дээр хасах бүхэл тоог нэмэх юм бол тоон шугам дээр зүүн тийш шилжинэ. Жишээ нь 2 + (-1) = 1 нь 2 зүүн тийш 1-ээр шилжинэ. 4 + (-2) = 2 нь 4 зүүн тийш 2-оор шилжинэ.
- Хэрэв бүхэл тооноос бүхэл тоог хасах юм бол тоон шугам дээр өмнөхтэй адил зүүн тийш шилжинэ. Жишээ нь 3 - 1 = 2 нь 3 нь зүүн тийш 1-ээр шилжинэ. 2 - 2 = 0 нь 2 нь зүүн тийш 2-оор шилжинэ.
- Хэрэв бүхэл тооноос хасах бүхэл тоог хасах юм бол тоон шугам дээр баруун тийш шилжинэ. Жишээ нь 3 - (-2) = 5 нь 3 баруун тийш 2-оор шилжинэ.
- Хоёр нэмэх бүхэл тооны нийлбэр нь нэмэх бүхэл тоо байна. Жишээ нь 2 + 5 = 7; 6 + 4 = 10
- Хоёр хасах бүхэл тооны нийлбэр нь хасах бүхэл тоо байна. Жишээ нь (-3) + (-4) = -7; (-5) + (-4) = -9
- Нэмэх ба хасах бүхэл тооны нийлбэр нь нэмэх бүхэл тоо ч байж болно хасах бүхэл тоо ч байж болно. Жишээ нь 5 + (-3) = 2; 4 + (-7) = -3
Хэрэв 2 бүхэл тооны нийлбэр тэг бол уг 2 тоог бие биеийнхээ нэмэх үйлдлийн инверс гэж нэрлэнэ. Жишээ нь 2-ийн инверс нь -2, 5-ийн инверс нь -5, -20-ийн нэмэх үйлдлийн инверс нь 20 байна.
Бүхэл тоог нэмэх үеийн үндсэн шинж чанарууд (Properties of Integers under Addition)
- Шинж чанар хадгалагдах дүрэм (Closure property) - Бүхэл тоог хооронд нь нэмэх үед эргээд бүхэл тоо гарч түүний шинж чанар өөрчлөгдөхгүй дүрэм биелдэг. Энэ дүрмийг p and q , (p + q) гэж тэмдэглэдэг. Жишээ нь 15 + 12 = 27; 20 + (-11) = 9
- Байр сэлгэх дүрэм (Commutative property) - Бүхэл тоог нэмэх үед байр сэлгэх дүрэм мөн биелнэ. Энэ дүрмийг p + q = q + p гэж тэмдэглэнэ. Жишээ нь 3 + 2 = 2 + 3; 5 + (-16) = (-16) + 5. Жич: хасах үйлдэл дээр энэ дүрэм биелэхгүй. Жишээ нь 1-3 ≠ 3-1
- Хэсэгчлэн бүлэглэх дүрэм (Associate property) - Бүхэл тоонуудыг нэмэх үед хэсэгчлэн бүлэглэх дүрэм биелнэ. Энэ дүрмийг (p + q) + r = p + (q + r) гэж тэмдэглэнэ. Жишээ нь (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3)
- Нэмэх үеийн үл ялгах дүрэм (Additive Identity) - Бүхэл тоон дээр тэгийг нэмэхэд өөртэйгөө тэнцүү байж үл ялгах дүрэм биелнэ. Энэ дүрмийг p + 0 = 0 + p = p гэж тэмдэглэнэ. Жишээ нь 2 + 0 = 2
Бүхэл тоог үржих (Multiplication of Integers)
- Бүхэл тоог хооронд нь үржүүлэхэд бүхэл тоо гарна. Жишээ нь 3 × 5 = 15; 6 × 8 = 48
- Нэмэх бүхэл тоог хасах бүхэл тоогоор үржих юм бол хасах бүхэл тоо гарна. Жишээ нь 4 × (-6) = -24; (-8) × 5 = -40
- 2 хасах бүхэл тоог хооронд нь үржих юм бол нэмэх бүхэл тоо гарна. Жишээ нь (-7) × (-4) = 28; (-6) × (-5) = 30
- 3 хасах бүхэл тоог хооронд нь үржих юм бол хасах бүхэл тоо гарна. Жишээ нь (-3) × (-4) × (-2) = 12 × (-2) = -24
- 4 хасах бүхэл тоог хооронд нь үржих юм бол нэмэх бүхэл тоо гарна. Жишээ нь (-1) × (-2) × (-3) × (-4) = 24
Эндээс сондгой тооны хасах бүхэл тоог хооронд нь үржих юм бол хасах бүхэл тоо, тэгш тооны хасах бүхэл тоог хооронд нь үржих юм бол нэмэх бүхэл тоо гарна.
Бүхэл тоог үржих үеийн үндсэн шинж чанарууд (Properties of Integers under Multiplication)
- Шинж чанар хадгалагдах дүрэм (Closure property) - Бүхэл тоог хооронд нь үржих үед эргээд бүхэл тоо гарч шинж чанар өөрчлөгдөхгүй дүрэм биелнэ. Энэ дүрмийг p and q , (p × q) гэж тэмдэглэдэг. Жишээ нь 2 × 3 = 6; 5 × 10 = 50; 8 × 0 = 0
- Байр сэлгэх дүрэм (Commutative property) - Бүхэл тоог үржих үед байр сэлгэх дүрэм биелнэ. Энэ дүрмийг p × q = q × p гэж тэмдэглэнэ. Жишээ нь 2 × 4 = 4 × 2; -5 × 6 = 6 × -5
- Хэсэгчлэн бүлэглэх дүрэм (Associate property) - Бүхэл тоонуудыг үржих үед хэсэгчлэн бүлэглэх дүрэм биелнэ. Энэ дүрмийг (p × q) × r = p × (q × r) гэж тэмдэглэнэ. Жишээ нь (1 × 2) × 3 = 1 × (2 × 3); (4 × 5) × -6 = 4 × (5 × -6)
- Тэгээр үржих дүрэм (Multiplication by zero) - Бүхэл тоог тэгээр үржихэд тэг болох дүрэм биелнэ. Энэ дүрмийг p × 0 = 0 гэж тэмдэглэнэ. Жишээ нь 5 × 0 = 0; -4 × 0 = 0
- Үржих үеийн үл ялгах дүрэм (Multiplicative Identity) - Бүхэл тоог нэгээр үржихэд өөртэйгөө тэнцүү байж үл ялгах дүрэм биелнэ. Энэ дүрмийг p × 1 = 1 × p = p гэж тэмдэглэнэ. Жишээ нь 2 × 1 = 1 × 2 = 2; -10 × 1 = 1 × -10 = -10
- Хаалт нээх дүрэм (Distributive property) - Бүхэл тоог үржих үед хаалт нээх дүрэм биелнэ. Энэ дүрмийг p × (q + r) = (p × q) + (p × r) гэж тэмдэглэнэ. Жишээ нь 2 × (3 + 2) = 2 × 3 + 2 × 2 буюу тэнцүүгийн тэмдгийн зүүн талын илэрхийлэл (left-hand side LHS) LHS = 2 × (3 + 2) = 2 × 5 = 10 ба харин тэнцүүгийн тэмдгийн баруун талын илэрхийлэл (right-hand side RHS) RHS = 2 × 3 + 2 × 2 = 6 + 4 = 10
Бүхэл тоог хуваах (Division of Integers)
- Нэмэх бүхэл тоог нэмэх бүхэл тоонд хуваахад нэмэх тоо гарах ба заавал бүхэл байх албагүй. Жишээ 6-г 5-д хуваах юм бол: (жич энд or нь буюу гэсэн утгатай, буюу гэдэг нь энэ 2 хариу 2-улаа зөв гэсэн утгыг илэрхийлнэ)
- Хасах бүхэл тоог нэмэх бүхэл тоонд хуваавал хасах тоо гарна. Жишээ нь -12-ийг 3 хуваах бол:
- Нэмэх бүхэл тоог хасах бүхэл тоонд хуваавал хасах тоо гарна. Жишээ нь 20-ийг -10т хуваах юм бол:
- Хасах бүхэл тоог хасах бүхэл тоонд хуваавал нэмэх тоо гарна. Жишээ нь -40-ийг -8-д хуваах юм бол -40 ÷ - 8 буюу
- Хуваах үйлдлийн үед байр сэлгэх дүрэм үйлчлэхгүй. Жишээ нь 2 ÷ 1 нь 1 ÷ 2-той тэнцэхгүй.
- Бүхэл тоог 1-д хуваах юм бол өөрөө гарна. Жишээ нь 2 ÷ 1 = 2; 15 ÷ 1 = 15; 0 ÷ 1 = 0
Жич: ямар ч бүхэл тоог 0-д хувааж болохгүй. Жишээ нь 1 ÷ 0 гэж болохгүй. Мөн түүнчлэн тэгийг ч 0-д хувааж болохгүй буюу 0 ÷ 0 болохгүй.